1. 求證拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿(mǎn)足以下條件:
(1)在[a,b]連續(xù)
(2)在(a,b)可導(dǎo)
則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b,使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立,其中a<c<b
2. 拉格朗日求解
關(guān)于代數(shù)方程的求解,從16世紀(jì)前半葉起,已成為代數(shù)學(xué)的首要問(wèn)題,一般的三次和四次方程解法被意大利的幾位數(shù)學(xué)家解決.在以后的幾百年里,代數(shù)學(xué)家們主要致力于求解五次乃至更高次數(shù)的方程,但是一直沒(méi)有成功.對(duì)于方程論,拉格朗日比較系統(tǒng)地研究了方程根的性質(zhì)(1770),正確指出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在,從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)思維方式的轉(zhuǎn)變.盡管拉格朗日沒(méi)能徹底解決高次方程的求解問(wèn)題,但是他的思維方法卻給后人以啟示
3. 拉格朗日結(jié)論
[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件:
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得
顯然,羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形,拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。
4. 求證拉格朗日恒等式
一.線性插值(一次插值) 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[xk ,xk+1 ]的端點(diǎn)上的函數(shù)值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個(gè)一次函數(shù)y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(diǎn)(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過(guò)該已知兩點(diǎn)。
首先,插值法是:利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值,作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù),在這些點(diǎn)上取已知值,在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f (x)的近似值,這種方法稱(chēng)為插值法.
其目的便就是估算出其他點(diǎn)上的函數(shù)值.
而拉格朗日插值法就是一種插值法.
5. 的拉格朗日
拉格朗日定理的意義如下:
1、拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣,它是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁,在理論和實(shí)際中具有極高的研究?jī)r(jià)值。
2、幾何意義: 若連續(xù)曲線在 兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在1點(diǎn) ,使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行。
3、運(yùn)動(dòng)學(xué)意義:對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)在任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中至少存在一個(gè)位置(或一個(gè)時(shí)刻)的瞬時(shí)速率等于這個(gè)過(guò)程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對(duì)洛必達(dá)法則進(jìn)行嚴(yán)格的證明,并研究泰勒公式的余項(xiàng)。從柯西起,微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。
6. 證明拉格朗日
一個(gè)推論,利用拉格朗日恒等式可以證明柯西不等式,好了,下面開(kāi)始給你證明.‘
有一個(gè)適合中學(xué)生的拉格朗日恒等式:
[(a1)^2+(a2)^2][(b1)^2+(b2)^2]=
[(a1)(b1)+(a2)(b2)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2
[(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2][(b1)^2+(b2)^2+(b3)^2]=
=[(a1)(b1)+(a2)(b2))+(a3)(b3)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+
+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+[(a2)(b3)-(a3)(b2)]^2
[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]=
=[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+
+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2
.
7. 拉格朗日求解法
拉格朗日中值定理可以看成是中間有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于連接起點(diǎn)終點(diǎn)直線的斜率,就是中間那一點(diǎn)的切線斜率等于連接那兩點(diǎn)直線的斜率(就是平行了)
8. 拉格朗日怎么求
這里用的是導(dǎo)數(shù)的定義,不是拉格朗日中值定理,雖然有點(diǎn)象,但其本質(zhì)是不一樣的。當(dāng)然,拉格拉日中值定理只要原函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)就可以了,沒(méi)有要求導(dǎo)函數(shù)一定要連續(xù)
9. 求證拉格朗日函數(shù)dL2>0則是條件極值點(diǎn)
一、條件極值概述
無(wú)其他條件求多元函數(shù)的極值,有時(shí)候稱(chēng)為無(wú)條件極值。
但在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問(wèn)題,稱(chēng)為條件極值。
但在很多情形下,將條件極值化為無(wú)條件極值并不這樣簡(jiǎn)單。拉格朗日乘數(shù)法可直接尋求條件極值,不必先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到無(wú)條件極值的問(wèn)題。
10. 求證拉格朗日插值基函數(shù)滿(mǎn)足下列恒等式
構(gòu)造一組插值基函數(shù).”就是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),這個(gè)函數(shù)在其中一點(diǎn)的值為1,其它點(diǎn)的值為0。這樣的話把n個(gè)這樣的函數(shù)加權(quán)加起來(lái)得到的函數(shù)就是在每個(gè)點(diǎn)上的值都是需要的了