1. 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式例題
拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng): ,其中θ∈(0,1)。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開(kāi)式與原式之間的一個(gè)誤差值,如果其值為無(wú)窮小,則表明公式展開(kāi)足夠準(zhǔn)確。 證明: 根據(jù)柯西中值定理: 其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到: 其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到: 其中θ在x和x0之間;
2. 8個(gè)常用泰勒公式拉格朗日余項(xiàng)
拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式:f'(x)=n+1。泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件,泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。
函數(shù)(function)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同,傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A,假設(shè)其中的元素為x,對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B,假設(shè)B中的元素為y,則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示,函數(shù)概念含有三個(gè)要素:定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
3. 常見(jiàn)的拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式
拉格朗日插值公式
線性插值也叫兩點(diǎn)插值,已知函數(shù)y=f(x)在給定互異點(diǎn)x0,x1上的值為y0=f(x0),y1=f(x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式p1(x)=ax+b使它滿足條件p1(x0)=y0p1(x1)=y1其幾何解釋就是一條直線,通過(guò)已知點(diǎn)a(x0,y0),b(x1,y1)。線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣,但由于它是用直線去代替曲線,因而一般要求[x0,x1]比較小,且f(x)在[x0,x1]上變化比較平穩(wěn),否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn),有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線,最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線,用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。
4. 拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式條件
線性插值也叫兩點(diǎn)插值,已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0),y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式:P1(x) = ax + b,使它滿足條件:P1 (x0) = y0, P1 (x1) = y1
其幾何解釋就是一條直線,通過(guò)已知點(diǎn)A (x0, y0),B(x1, y1)。
線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣,但由于它是用直線去代替曲線,因而一般要求[x0, x1]比較小,且f(x)在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn),否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn),有時(shí)用簡(jiǎn)單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線,最簡(jiǎn)單的曲線是二次曲線,用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。
5. 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式是什么
1.帶皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式的不足。
2.帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。
3.對(duì)(拉格朗日余項(xiàng))泰勒公式的一些說(shuō)明。
4.誤差分析的一般結(jié)論(實(shí)際應(yīng)用時(shí)須具體問(wèn)題具體分析)。
5.附錄:泰勒中值定理2的證明。
擴(kuò)展資料:
高等數(shù)學(xué)指相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言,數(shù)學(xué)的對(duì)象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說(shuō),初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué),也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的,將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡。
6. 求帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式
f(x)=x^(1/2) f(4)=2 f'(x)=1/2 x^(-1/2) f'(4)=1/4f''(x)=-1/2^
2 x^(-3/2) f''(4)=-1/2^5f'''(x)=3/2^3 x^(-5/2) f'''(4)=3/2^8f''''(x)=-3*5/2^4 x^(-7/2)∴函數(shù)f(x)=√x按(x-4)的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式:√x=2+1/4(x-4)-1/2^6(x-4)^2+1/2^9(x-4)^3-5/2^7(4+θx)^(-7/2)(x-4)^4
7. 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式使用條件
拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng): ,其中θ∈(0,1)。 拉格朗日余項(xiàng)實(shí)際是泰勒公式展開(kāi)式與原式之間的一個(gè)誤差值,如果其值為無(wú)窮小,則表明公式展開(kāi)足夠準(zhǔn)確。 證明: 根據(jù)柯西中值定理: 其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到: 其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到: 其中θ在x和x0之間;同時(shí): 進(jìn)而: 綜上可得: