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用數(shù)學(xué)角度說一下易拉罐為什么要設(shè)計(jì)成那樣,比如露露

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那起來(lái)方便,而且體積大如你所愿,下面是有關(guān)資料

易拉罐的相關(guān)數(shù)據(jù)(鋁質(zhì)包裝)

品種 高(cm) 底面半徑(cm) 體積(cm3)

雙鹿啤酒 11.9 3.15 350

椰子汁 13.2 2.65 250

旺仔牛奶 8.5 3.2 245

露露飲料 16.8 3.2 500

健力寶 10.2 3.25 330

有關(guān)易拉罐制造成本問題的數(shù)學(xué)建模及計(jì)算過程

假設(shè)易拉罐的上、下底面及側(cè)面所用的材料相同,則在相同的體積情況下,哪種飲料所用的材料最少則成本就越低,也就最合理,

① 易拉蓿ㄋ蠱【疲┑謀礱婊齋=2π×3.15×11.9+2π×3.152≈297.8(cm2)

每立方厘米啤酒所需包裝材料是297.8/350=0.85(cm2)

② 易拉罐(椰子汁)的表面積S=2π×2.65×13.2+2π×2.652≈264(cm2)

每立方厘米椰子汁所需包裝材料是264/250=1.06(cm2)

③ 易拉罐(旺仔牛奶)的表面積S=2π×3.2×8.5+2π×3.22≈235(cm2)

每立方厘米旺仔牛奶所需包裝材料是235/245=0.96(cm2)

④易拉罐(露露飲料)的表面積S=2π×3.2×16.8+2π×3.22≈402(cm2)

每立方厘米露露飲料所需包裝材料是402/500=0.804(cm2)

⑤易拉罐(健力寶)的表面積S=2π×3.25×10.2+2π×3.252=274(cm2)

每立方厘米健力寶飲料所需包裝材料是274/330=0.83(cm2)

從上面五種飲料的計(jì)算結(jié)果可以看出,在相同體積的情況下,露露飲料所用的材料要比其它飲料的少,即節(jié)省了資源。

那么,從節(jié)省資源的角度來(lái)說,何種設(shè)計(jì)是最合理的呢?

設(shè)易拉罐的高為h,底面圓半徑為r,由圓柱的體積公式V=

πr2?h,得h=V/πr2,又易拉罐的表面積S=2πr2 +2πr h,所以S=2πr2 +2V/r

按設(shè)計(jì)要求知,體積V是常數(shù),半徑r是變量,表面積S是r的函數(shù),故問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:當(dāng)r取何值時(shí)函數(shù)S取最小值?

由S=2πr2 +2V/r =2πr2 + V/r + V/r≥3 3 2πr2 ?(V/r)?(V/r)=33 2πV2, 當(dāng)且僅當(dāng)2πr2 = V/r ,即r =3V/2π時(shí),易拉罐具有最小的表面積33 2πV2 ,此時(shí)易拉罐的高h(yuǎn) =2r。也即當(dāng)易拉罐設(shè)計(jì)成等邊圓柱時(shí),消耗的材料最少。

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